PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

1. Un polígono con n lados, tienen como suma de sus ángulos interiores 180° (n – 2)

Se toma como referencia un vértice cualquiera y se trazan (n – 2) triángulos en el polígono.

la suma de los ángulos de un triángulos es 180°.

Es fácil ver que la suma de los ángulos interiores del polígono, es la suma de los ángulos de los triángulos.

A + B + C + D + E = 190° (n – 2)

Si el polígono es regular, y se desea calcular el valor del ángulo interior basta con dividir 180° (n – 2) entre el número de lados del polígono.

Angulo interior=  

2. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360°

La suma de los ángulos interiores y exterior de un vértice del polígono es de 180°.

La suma de los ángulos interiores y exteriores del polígonos es 180° n.

Por lo tanto, a 180° n restamos la suma de los ángulos interiores 180° (n – 2).

180° n – 180° (n – n + 2) = 360°

Suma de ángulos exteriores = 360°

3. El total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados, se obtiene con la expresión 

(n – 3) son las diagonales que se pueden trazar de cada vértice porque siempre habrá tres vértices a los que no se pueda trazar diagonal, el vértice de donde se traza y los dos contiguos.

Cada diagonal toca dos vértices, entonces se cuenta doble cada diagonal por lo tanto:

Numero de diagonales = 

POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES 

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS 

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n-2).

En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es 360.

Número de diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos) de un polígono es D_n = n (n-3)/2

Polígonos regulares:  convexos y estrellados.

POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS.

Como se ha indicado un polígono es regular si tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales.

En la figura se muestran los elementos más importantes de un polígono regular.

Radio (r): segmento que une el centro con un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita.

Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado.

En un polígono regular de n lados:

Angulo central =360/n

Angulo interior = 180 - 360/n

Área = Perímetro x Apotema /2;   A = n· L · a /2 , ya que es el área de n triángulos  de base L y altura a

(L/2)² + a² = r²  por ser triangulo rectángulo L/2, r y a

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES.
No todo polígono regular puede construirse con regla y compás. Más bien al contrario, algunos polígonos regulares pueden construirse de forma exacta. 
Se presentan algunos de los polígonos regulares construibles. Desde cada imagen se accede a su construcción.

	Si un polígono regular de N lados es construible, también lo es el regular de 2N lados. Basta con trazar la circunferencia circunscrita y trazar la mediatriz de cada lado.
	Si un polígono de N lados es construible, también lo son los polígonos cuyo número de lados sea divisor de N. Uniendo los vértices correspondientes.

Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y todos los que se deducen de ellos por bisección:  6, 8, 10, 12,...  lados.

Gauss demostró, que son construibles los polígonos regulares con número de lados esto es, de lados  N=3 (n=0), N=5 (n=1), N=17 (n=2), N=257 (n=3), N=65537 (n=4).

También demostró la imposibilidad de la construcción de polígonos regulares de lados, 7,9,11,13,... en la que muchos  habían fracasado.

En algunos textos y páginas de Internet es fácil encontrar la construcción de alguno de estos, que  es aproximada, aunque a veces no se indique con claridad.

POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.

También son, de acuerdo a la definición de polígonos regulares, los estrellados. Estos, se obtienen a partir del regular convexo, uniendo vértices  no consecutivos, recorriendo todos los vértices de forma continua.

No debemos confundir los polígonos estrellados con las estrellas.

La figura de la izquierda representa el polígono estrellado 8/3, octógono estrellado. La imagen de la derecha son dos cuadrados, girado uno respecto al otro 45º.

OCTÓGONO  ESTRELLADO 8/3                


Un polígono estrellado N/M se construye a partir del polígono regular N uniendo puntos de M en M.En el ejemplo uniendo los vértices del octógono regular de tres en tres.

 ESTRELLA FORMADA POR  DOS CUADRADOS.

También puede formarse esta composición sobre un octógono regular. Pero la figura anterior no es un polígono, si no dos. Son dos líneas poligonales independientes.

BIBLIOGRAFIA

Polígonos:  polígonos regulares y polígonos regulares estrellados.   Tomado de:  http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/Poligonos.htm

Propiedades De Los Polígonos Tomado De :

https://propiedadesdelospoligonos2014lms.wordpress.com/propiedades-de-los-poligonos/